PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Innehåll
- Förenkla algebraiska uttryck
- Termer av samma sort
- Skriva potenser med digitala hjälpmedel
- Potenslagarna
- Förenkla uttryck med parenteser
- Multiplicera in och utveckla uttryck
- Faktorisering
- Distributiva lagen
- Exempel i videon
- Kommentarer
I den här lektionen får du en introduktion av algebran i denna kurs. Den ger även möjlighet att repetera och fördjupa det du tidigare lärt dig i förenkla algebraiska uttryck och kring olika potensregler. Återvänd till lektionen Begrepp i Algebra för att repetera de olika begreppen.
Förenkla algebraiska uttryck
Om flera termer i ett algebraiskt uttryck är av samma sort så kan vi addera alternativt subtrahera dessa med varandra, så att vi minskar antalet termer i uttrycket.
När man gör detta kallas det att man förenklaruttrycket. Men för att detta skall kunna göras, måste alltså termerna vara av samma sort.
Anledningen till att vi eftersträvar att förenkla uttrycken är att det ökar tydligheten och överskådligheten av uttrycken. Det kommer vi att ha stor användning av när vi ska visualisera uttrycken som grafer i ett koordinatsystem eller ange olika egenskaper hos uttryck som sammanfogas till funktioner. Men mer om detta senare.
Termer av samma sort
Det man menar när man tala om termer av samma sort är att termerna innehåller samma variabler och att de har samma gradtal. Alltså samma exponent.
Exempelvis gäller att variabeltermerna $x^2$, $-x^2$ och $6x^2$ är av samma sort. Lika så $a^4$, $2a^4$ och $-0,3a^4$.
Exempel 1
Förenkla uttrycket$2x^2+10x-x+5x^2$2x2+10x−x+5x2
Lösning
Vår uppgift är att addera och subtrahera termer av samma sort, så att uttrycket innehåller så få termer som möjligt. Vi kontrollerar variablerna och dess exponenter. Därefter markerar vi här termer av samma sort med samma färg.
och får att
$2x^2+10x-x+5x^2=7x^2+9x$2x2+10x−x+5x2=7x2+9x
Vi observerar att exponenten inte är den samma och även om variabeln är densamma så räcker alltså inte detta för att ”slå ihop” termerna.
Det beror på att om vi skriver uttrycket i utvecklad form så har vi
$2x^2+10x-x+5x^2=2\cdot x\cdot x+10\cdot x-1\cdot x+5\cdot x\cdot x$2x2+10x−x+5x2=2·x·x+10·x−1·x+5·x·x
och vi ser att första och sista termen inte anger att antal $x$x utan antal ”$x$x i kvadrat”, vilket inte är det samma.
Viktigt att förstå i detta sammanhang är att $ab$ och $7ba$ är av samma sort, även om det inte är riktigt lika tydlig att först se. Men eftersom att multiplikationen är kommutativ, vilket betyder att faktorer kan byta ordning utan att ändra värde,$a\cdot b=b\cdot a$a·b=b·a, innehåller termerna variabler med samma exponent, även om de står i ombytt ordning. Alltså är de av samma sort.
Exempel 2
Förenkla uttrycket$x^2+10xy-yx-8-5x^2$x2+10xy−yx−8−5x2
Lösning
Vår uppgift är, igen, att addera och subtrahera termer av samma sort, så att uttrycket innehåller så få termer som möjligt. Därför kontrollerar vi variablerna och exponenterna. Sedan markerar vi åter termer av samma sort med samma färg.
Termerna$10xy$10xyoch$-yx$−yxinnehåller variabler med samma exponent,eftersom att multiplikationen mellan$xy$xyoch$yx$yxärkommutativ, vilket gör att de kan subtraheras. Även andragradstermerna$x^2$x2och$-5x^2$−5x2kan slås samman. Vi får att
$x^2+10xy-yx-8-5x^2=-4x^2+9xy-8$x2+10xy−yx−8−5x2=−4x2+9xy−8
Sammanfattningsvis gäller att vid sammanslagning av termer kan koefficienterna till variabeln vara olika, men inte exponenterna.
Vi understryker som följd av detta att $2x$ och $x^2$ varken är samma sak eller av ”samma sort” då de har olika grad, dvs de har olika exponenter och motsvarar $2\cdot x$2·x respektive $x\cdot x$x·x. Inte heller$xy^2$xy2och$xy$xy är av samma sort, eftersom att variabel$y$yhar olika exponenter.
Skriva potenser med digitala hjälpmedel
Vi påminner om att du skriver potenser på Eddler i kortsvaren eller på GeoGebra på följande vis.
Upphöjt till kan skrivas genom att hålla nere shift och samtidigt trycka på knappen med symbolen ^
Ofta hittar du den på knappen precis till höger om Å.
På vissa digitala hjälpmedel skrivs ^ ut genast, medans det på andra inte skrivs förrän du anger vad du vill ha i exponenten, det vill säga ^ skrivs ut samtidigt som du ex skriver ut exponenten tre i skrivsättet 7^3.
Potenslagarna
För att förenkla och effektivisera beräkningar med potenser används potenslagarna, även kallade potensreglerna. Dessa kan endast användas när potenserna i uttrycket är skrivna påsamma bas.
Potenslagarna
För alla reella tal$m$moch$n$noch positiva tal$a$aoch$b$bgäller att
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$am·an=am+n
$\frac{a^m}{a^n}$aman$=a^{m-n}$=am−n
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(am)n=am·n
$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$(ab)n=anbn
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)n=an·bn
$a^{-n}=$a−n=$\frac{1}{a^n}$1an där$a\ne0$a≠0
$a^0=1$a0=1
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a1n=n√a
Vi påminner igen att du måste du ha samma bas för att potenslagarna skall kunna användas. Har potenserna inte samma bas kan man försöka skriva om dem så att de får samma bas med bibehållet värde. Men det är inte alltid möjligt. I dessa fall får man beräkna uttrycken utan potensregler.
Exempel 3
Förenkla
a) $x^3\cdot x^5$x3·x5
b) $\frac{15a^4}{3a^2}$15a43a2
c) $a^3\cdot b^5$a3·b5
Lösning
Enligt potensreglerna får vi att
a) $x^3\cdot x^5=x^8$x3·x5=x8
b) Vi kan dividera koefficienterna för sig och sedan använda potensregeln på variablerna.
$\frac{15a^4}{3a^2}=\frac{15}{3}\cdot\frac{a^4}{a^2}=\frac{15}{3}\cdot$15a43a2=153·a4a2=153·$a^{4-2}=5a^2$a4−2=5a2
c) Uttrycket $a^3\cdot b^5$a3·b5 kan inte förenklas mer eftersom att basen inte är den samma på de två potenserna.
Återvänd till lektionen Potenser och Potenslagar om du känner dig osäker på detta.
Exempel 4
Lös ekvationen med hjälp av potenslagarna
a) $x^{\frac{1}{2}}=8$x12=8
b) $2x^3=54$2x3=54
Lösning
a) Enligt potensreglerna får vi att $x^{\frac{1}{2}}=8$x12=8 är detsamma som $\sqrt{x}=8$√x=8 och vi får att $x=64$x=64 eftersom att
$x^{\frac{1}{2}}=8$x12=8 upphöj båda led till $2$2
$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=8^2$(x12)2=82 förenklar potensen i VL:$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=x^{\frac{1}{2}\cdot2}=x^{\frac{2}{2}}=x^1=x$(x12)2=x12·2=x22=x1=x
$x=64$x=64
eller
$\sqrt{x}=8$√x=8 upphöj båda led till $2$2
$\left(\sqrt{x}\right)^2=8^2$(√x)2=82
$x=64$x=64
b) Vi löser ekvationen
$2x^3=54$2x3=54 dividera båda led med$2$2
$x^3=27$x3=27 dra tredjeroten ur båda led eller upphöj till $\frac{1}{3}$13
$x=3$x=3
Vi kan lösa b) med huvudräkning då vi vet att $27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3$27=9·3=3·3·3=33 vilket ger att $x^3=3^3$x3=33 och vi ser att $x=3$x=3.
Återvänd till lektionen Potensekvationer om du känner dig osäker på detta.
Förenkla uttryck med parenteser
Om parentesen föregås av ett plustecken så ändras inte några tecken framför termerna när du tar bort parentesen.
$a+\left(b+c\right)=a+b+c$a+(b+c)=a+b+c
Om en parentes istället föregås av ett minustecken så byter alla termer i parentesen tecken när parentesen tas bort.
$a-\left(b+c\right)=a-b-c$a−(b+c)=a−b−c
$a-\left(b-c\right)=a-b+c$a−(b−c)=a−b+c
Vi tar ett exempel på förenkling av uttryck med parenteser.
Exempel 5
Förenkla uttrycket$20-(x^2+x)+(2x^2+x)$20−(x2+x)+(2x2+x)
Lösning
Vi börjar med att ta bort parenteserna. Subtraktionstecknet innan parentesen medför att alla termer i parentesen får ombytt tecken. Additionstecknet medför ingen förändring.
$20-(x^2+x)+(2x^2+x)=$20−(x2+x)+(2x2+x)=
$20-x^2-x+2x^2+x$20−x2−x+2x2+x
Nu förenklar vi uttrycket genom att adderar och subtraherar termer av samma sort.
$20-x^2-x+2x^2+x=$20−x2−x+2x2+x=
$20+x^2$20+x2
För att öka tydligheten av uttryckets karaktär, skriver vi det gärna på formen med termen med störst gradtal först. Alltså som $ x^2+20$. Men det andra sättet är inte fel. Bara lite mindre tydligt.
Nu är det bara att sätta igång att öva på att förenkla uttryck. Du kommer ha stor användning av att behärska detta även i kommande kurser.
Multiplicera in och utveckla uttryck
När vi utvecklar uttryck med parenteser, även kallat multiplicera in, ska alla termer i parentesen multipliceras med faktorn.
Vi repeterar följande regler för att ta bort parenteser i algebraiska uttryck.
Beroende på vad man ska använda sitt uttryck till underlättar det att kunna ange det i antingen i faktorform eller som en utvecklad summa.
Exempel 6
Utveckla uttrycket $3a\left(b+4\right)$3a(b+4)
Lösning
Att ”utveckla uttrycket” innebär att skriva det som en summa i stället för en produkt. Vi multiplicerar in$3a$3a i parentesen för att lyckas med det. Kom ihåg att alla termer i parentesen ska multipliceras med$3a$3a.
$3a\left(b+4\right)=3\cdot a\cdot b+3\cdot a\cdot4=3ab+12a$3a(b+4)=3·a·b+3·a·4=3ab+12a
När vi svarar samlar vi ihop alla koefficienter, talen som multipliceras med en variabeln, och bildas en ny koefficient av deras produkt och placeras framför variabeln. I exemplet ovan är det koefficienterna $3$3 och $4$4 till variabeln $a$a som multipliceras till produkten$12$12 som alltså blir andra termernas ”förenklade” koefficient.
Faktorisering
En annan viktig del i arbetet med algebra är faktorisering.I lektionen Faktorisera algebraiska uttryck gick vi igenom grunderna vid faktorisering. Vi repeterar dem kort här med några exempel. Känner du dig osäker så återvänd till den lektionen för att träna mer.
Man säger att man ”bryter ut” en faktor och förvandlar på så vis en summa till en produkt. Viktigt är att komma ihåg att det man bryter ut måste brytas ut ur alla termer i uttrycket! Vid faktoriseringen skiljs den utbrutna faktorn och det som är kvar av respektive term med en parentes.
Exempel 7
Bryt ut största möjliga faktor ur$3x^2+2x$3x2+2x och skriv som en produkt.
Lösning
Vi skriver först om varje term som ”tydliga” faktorer, för att lättare se vilka som är gemensamma och därmed kan brytas ut.
$3x^2+2x=$3x2+2x=
$3\cdot x\cdot x+2\cdot x$3·x·x+2·x
Vi se nu att termerna har en gemensamma faktor$x$x, vilket ger att vi kan bryta ut $x$x utanför en tillsatt parentes.
Så vi kan skriva om uttrycket till produkten$x\left(3x+2\right)$x(3x+2) där$x$x och$\left(3x+2\right)$(3x+2) faktorer.
Viktigt att komma ihåg är att när du bryter ut en hel terms värde finns ändå en etta kvar i parentesen.
Exempel 8
Faktorisera uttrycket$2x^2+2x$2x2+2xtill två faktorer.
Lösning
Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut.
$2x^2+2x=$2x2+2x=
$2\cdot x\cdot x+2\cdot x$2·x·x+2·x
Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,$2$2och$x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen. Tänk på att det måste finnas kvar en etta när du bryter ut$2x$2x ur andra termen. Annars får du inte tillbaks likheten om du multiplicerar in dem igen. Vi skriv till den.
$2\cdot x\cdot x+2\cdot x\cdot1=$2·x·x+2·x·1=
$2x(x+1)$2x(x+1)
Hade vi inte skrivit med ettan i parentesen är risken att vi fått $2x\left(x+0\right)=2x^2$2x(x+0)=2x2 som alltså inte är rätt svar!
Exempel 9
Faktorisera uttrycket $6x+3x^2-12x^3$6x+3x2−12x3
Lösning
Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är$12=2\cdot6=2\cdot2\cdot3$12=2·6=2·2·3lämpligt att utnyttja.
$6x+3x^2-12x^3=$6x+3x2−12x3=
$2\cdot3\cdot x+3\cdot x\cdot x-3\cdot4\cdot x\cdot x\cdot x$2·3·x+3·x·x−3·4·x·x·x
Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,$3$3och$x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.
$2\cdot3\cdot x+3\cdot x\cdot x-3\cdot4\cdot x\cdot x\cdot x=$2·3·x+3·x·x−3·4·x·x·x=
$3x(2+x-4x^2)$3x(2+x−4x2)
vilket vi gärna även här skriver om i ordning med fallande grad som
$3x(-4x^2+x+2)$3x(−4x2+x+2)
Distributiva lagen
Den lag vi använder när vi multiplicerar in faktorer i parenteser eller fakotriserar kallas för den distributiva lagen. Vi kommer titta närmre på den i kommande lektion. Lagen säger följande.
$a(b+c)=ab+ac$
Vi kan motivera lagen genom att visa att en rektangels area kan beskrivas på två olika sätt. De två sätten kommer motsvara vänster och högerledet i den distributiva lagen.
Då den stora rektangeln har sidorna $a$aoch$b+c$b+c, kan vi uttrycka rektangelns area genom att multiplicera sidornas längder med varandra,$a\left(b+c\right)$a(b+c).
De två små rektanglarna har sidorna $a$aoch$b$bsamt $a$aoch$c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna$a\cdot b=ab$a·b=aboch$a\cdot c=ac$a·c=ac.
Vi faktoriserar algebraiska uttryck med hjälp av att använda den distributiva lagen ”baklänges”.
Exempel i videon
- Förenkla$(2x^2+2x)-(x^2-2x)$(2x2+2x)−(x2−2x)
- Förenkla$(3ab^2-2ab)-2(a^2b-2ab)$(3ab2−2ab)−2(a2b−2ab)
- Bryt ut största möjliga faktor ur$2x^3y-6xy^2$2x3y−6xy2
- Bestäm$n$n då$\frac{3^5}{3^n}=3^3$353n=33
- Lös ekvationen$2^x\cdot2^{x-4}=16$2x·2x−4=16
Kommentarer
Yousef alqwatli
Hej! Jag skulle vilja föreslå ett förslag till webbutvecklarna på Edler. Jag tycker att det vore bra att lägga till en tangentbordsruta under svarsrutan. Det skulle göra det lättare och snabbare att skriva matematiska tecken. Med vänliga hälsningar, Josef.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Yousef,
tack för din kommentar. Vi har tittat och tittar faktiskt på olika möjligheter för detta. Men din input får oss att prioritera upp frågan igen.
Anders Wall
Hej.
Hur skriver jag bråk?
Jag använder / och det gick den ej med på
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Anders,
det ska gå att skriva / som bråkstreck. Vilken uppgift vad det som det inte fungerade på?
Du kan se alla alternativa skrivsätt som systemet godkänner genom att rätta uppgiften, klicka på Facit och håll musen över Korrekta varianter. Då kan du se olika korrekta svar. En del är skrivna med LaTex vilket gör att koden är annorlunda än det ser ut.
Och saknas korrekta vainter så tar vi tacksamt emot felanmälningar och lägger till så snabbt vi kan.
Sofia Joelson
I förklaringen till fråga 39, varför blir nämnaren x gånger kvadrerad x = x upphöjt till 3/2?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Sofia.
Jag tror du menar roten ur i stället för kvadrerad, eller?
$x \cdot \sqrt x = x^1\cdot x^{1/2}$
och vi skriver sedan om detta till en potens
$x^{1+1/2}=x^{3/2}$
Jag har försökt förtydliga förklaringen på uppgiften om du vill se ännu fler steg i bräkningen.
H N
I filmen vid 3:27 finns det ett fel.
2x^3y – 6xy^2 är lika med 2xy(x^2-3y) och inte 2xy(2x^2-3y)
Svaret som ni ger är lika med 4x^3y−6xy^2 som inte är detsamma som 2x^3y – 6xy^2.
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till, det är korrigerat!
Maria Peshkova
fråga 22, vart finns det mer förklaring kring hur man löser dessa uppgifter??
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Maria,
när du rättat en uppgift kan du klicka på FÖRKLARING så ser du ett förslag på hur du kan tänka och hur uppgiften kan lösas. För att se förklaringar på alla uppgifter behöver du har ett premiumkonto.
Nathalie Ohlsson
varför är inte 5(xy-5x) rätt på fråga 19? är inte 5 den största möjliga faktorn?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Natalie,
du kan även bryta ut ett x ur båda termerna.
Titta i förklaringen så ser du. DU hittar den genom att först rätta uppgfiten och sedan klicka på FÖRKLARING.
Nathalie Ohlsson
på fråga 17. skrev jag 20+x-3x^2 men det stod att det var fel
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Natalie,
jag har lagt till det som ett korrekt svar, men vanligtvis när men jobbar med förenkling så svarar med med termerna i ”fallande grad”. Det betyder att man anger termen med störst grad först. Det gör man för att lättare kunna avgöra vad förslags polynom det är man har att göra med. Men ditt svar är också rätt, om än inte lika vanligt.
Vilma Everlund
fråga 2 säger ni att svaret blir 3x men enligt miniräknare och appe photomath SKA svaret vara 3x-4 . Men ni förklara ingenstans varför ni inte tycker det???
